你拿披薩的方式，很可能是錯的

夜未央魚

我們都遇到過這種情況。你抓起一塊披薩，正要一口吞掉的時候，披薩一下子軟了，從你的指尖處耷拉了下來。披薩餅本身的結(jié)構(gòu)強度不夠高，無法支持整片的重量。也許下次應(yīng)該少加點兒料？不用，無需絕望。
如果是是個吃披薩多年的老手，那你應(yīng)該知道怎么對付這樣的場景：只需把披薩彎成U形即可。（手頭沒有披薩？拿一張紙試驗一下就好。）

paper-fold-hold.png一張紙拿在手里就會耷下去，但彎曲握就能讓它筆直。為什么呢？圖片來源：Aatish Bhatia
這個披薩小竅門的背后，深藏著一項關(guān)于曲面的強力數(shù)學(xué)。這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)如此絕妙，以至于它的發(fā)明人——數(shù)學(xué)天才卡爾·弗雷德里克·高斯（Carl Friedrich Gauss）——給它起了個拉丁文名叫Theorema Egregium，意思是“絕妙定理”。
拿一張紙，卷成圓柱形紙筒。你可能覺得顯而易見，紙本來是平的，卷成筒就彎了，對吧？可是高斯不這么想。他想給紙的彎曲程度（“曲率”）下一個定義，讓它不因你人工施加的彎曲而改變。


圖片來源：Aatish Bhatia
如果你放大去看一只生活在紙筒上的螞蟻，這只螞蟻可以走很多條不同的路線。它可以沿著彎曲道路橫著走下去，畫出一個圓；也可以沿著平坦路線豎著走，走出一條直線?；蛘咚梢园褍煞N方式組合起來，走一條螺旋。
高斯的天才在于，他想到把所有這些路線都納入曲率定義里面。辦法是這樣的：從任何一點出發(fā)，找到這只螞蟻能選擇的最極端的兩條路線——也就是最凹的和最凸的兩條線。然后把它們的曲率乘起來。凸的路線曲率是正的，凹的路線曲率是負(fù)的，直的路線曲率是0。你得到的數(shù)字，就是那個點上的高斯曲率。

圖片來源：Aatish Bhatia
舉幾個例子吧。對于紙筒上的螞蟻來說，最極端的兩條路，一條是橫著畫圓，另一條就是豎著畫直線。但是因為直線具有0曲率，所以乘起來總是得到0。照數(shù)學(xué)家的說法，紙筒是平的——它的高斯曲率就是0。這正是因為你能用平整的紙張卷出一個紙筒。
相反，如果螞蟻活在一個球上，那么它就無法找到平坦的路線，每一條道路都會有一定程度的向外凸出，所以高斯曲率一定是個正的數(shù)。所以，球是彎的，而筒是平的。你可以把一張紙卷成一個筒，卻永遠(yuǎn)不能卷成一個球。

圖片來源：Aatish Bhatia
高斯的絕妙定理就是：生活在曲面上的螞蟻，根本不需要離開它就能知道曲面的曲率。只要測量一下距離，計算一下就行。順便說，這也是為什么我們沒有離開宇宙卻能測量出我們的宇宙是不是平的（根據(jù)目前的觀測來看，它是）。
但這個定理還有一個絕妙的結(jié)果：你可以隨意彎曲一個曲面，只要你不拉長、壓縮或者撕裂它，高斯曲率一定不會變。因為單純彎曲不改變其上的距離，所以不管怎么彎，上面的螞蟻總會計算出同樣的高斯曲率。
聽起來可能有點兒抽象，但是這推論有十分緊貼現(xiàn)實的結(jié)果。把一個橘子切成兩半，吃掉里面的東西，然后把剩下半個橘子皮放在地上，踩吧。皮永遠(yuǎn)不可能被踩扁成一個完整的圓。相反，它一定會裂開。這是因為球面和平面擁有不同的高斯曲率，所以不扭曲、不撕裂，是不可能把球面壓平的。有沒有試過給人寄籃球當(dāng)禮物？包裝紙會遇到完全一樣的問題。不管你怎么彎曲一張紙，它總會留下一點點“平”的痕跡，所以最后只能得到皺皺巴巴一團糟。

桔子皮不可能壓成完整圓——因為球面和平面高斯曲率不同（而且桔子皮也沒有什么延展性）。圖片來源：Aatish Bhatia
這個定理的另一個推論是，平面紙上永遠(yuǎn)不可能畫出準(zhǔn)確的地圖。很多常見世界地圖投影方式能精確地保留角度，但是在面積上就有嚴(yán)重誤差。數(shù)學(xué)博物館的推特指出，服裝設(shè)計師也面臨類似挑戰(zhàn)——他們在平面上設(shè)計花樣，卻要符合彎曲的人體。

每個紅色圓圈的實際面積是相等的，但在地圖上看起來就有很大的差異。圖片來源：Stefan Kühn (左), Eric Gaba (右) / Wikimedia
那這一切和披薩餅有什么關(guān)系呀？是這樣的：你拿起披薩之前，它是平的（數(shù)學(xué)上說，它的高斯曲率為0）。高斯絕妙定理指出，這片披薩必須有至少一個方向永遠(yuǎn)保持平整——不管你怎么彎，它一定會留下一點“平”的痕跡。當(dāng)這片披薩塌下去的時候，平的方向（紅色箭頭）是朝側(cè)面的，這對吃掉它可沒有什么幫助。但是如果你搶在它塌下去之前，先把披薩側(cè)著捏彎，就迫使另一個方向只能保持平整——也就是對著你嘴巴的方向。還真是絕妙的定理呀。

沒想到幾何學(xué)也能這么美味吧。圖片來源：Aatish Bhatia
在一個方向上彎曲，來迫使它在另一個方向上保持平直。一旦你理解了這個點子，你就會到處都看到它。仔細(xì)看看一片草葉。它通常都是沿著中央葉脈彎曲的，這能幫助它維持筆直，不會軟塌下去。工程師經(jīng)常用彎曲來強化結(jié)構(gòu)承載力。在馬德里扎祖拉體育場，西班牙結(jié)構(gòu)工程師埃杜拉多·托羅亞（Eduardo Torroja）設(shè)計了一套創(chuàng)新的混凝土屋頂，從邊緣一直伸到看臺上方，遮蔽了大片區(qū)域，而厚度只有幾厘米。這其實就是披薩技巧。

彎曲的草葉。圖片來源：Dudley Carr / Flickr

西班牙扎祖拉體育場。圖片來源：Ximo Michavila
彎曲帶來力量。想想看：你能站在一個空易拉罐上，它能輕松承載你的體重；可是易拉罐外壁的厚度差不多和紙一樣薄。它的秘密就是它的彎曲。如果有人趁你站在上面的時候拿筆戳一下易拉罐，就能戲劇化地展現(xiàn)這一點——只需一個小凹坑，它就會在你腳下轟然崩塌。

紙板箱里隱藏的秘密。圖片來源：Craig Sunter / Flickr
但最日常的例子可能是無處不在的波形建材。世界上簡直沒有比紙板箱更無聊的東西，但是撕開一個這樣的箱子，你會看到箱壁里一條熟悉的波浪曲線。這些皺褶在里面可不是為了好看，它們是一種天才的結(jié)構(gòu)方式：讓材料又薄又輕，又能堅硬到足以承擔(dān)可觀的重壓。

很多人小時候玩過的把戲：把一張紙折疊幾次就能承載很大的重量，但它背后的數(shù)學(xué)可能你就想不到了。圖片來源：Aatish Bhatia
波形金屬板使用的也是同樣的原理。這些不起眼的建材是純實用性的體現(xiàn)，它們的形態(tài)和其功能完美契合；它們的高強度和相對低廉造價使其成為了整個現(xiàn)代世界的背景。
今天，我們就算看到這些波浪形金屬板也幾乎不會多想什么。但當(dāng)它們誕生時，許多人把波形建材看成是奇跡材料。1829年，亨利·帕爾默（Henry Palmer）獲得了波形建材的專利，他是一個英國工程師，負(fù)責(zé)建造倫敦碼頭。帕爾默建起了世界上第一個波形鋼結(jié)構(gòu)建筑——倫敦碼頭的松油棚屋。雖然它今天看來可能沒什么了不起，但是聽聽當(dāng)時的一家建筑學(xué)雜志是怎么描述它的吧：
不久前路過倫敦碼頭時，我們十分滿意地發(fā)現(xiàn)，帕爾默先生新發(fā)明的屋頂已經(jīng)得到了實際應(yīng)用?！魏我粋€目光敏銳的人，路過的時候都不可能不被它的優(yōu)雅和簡潔所打動（雖然它只是個棚屋）；而只要稍加思索，他們就會相信這一建筑的效率之高、經(jīng)濟之節(jié)約。我們認(rèn)為，這是自亞當(dāng)誕生以來，人類之手所建造的最輕又最結(jié)實（以其重量而言）的屋頂。若我們仔細(xì)觀察（我們?yōu)榱诉@一目的而爬過了各式各樣的粘稠松油罐），會發(fā)現(xiàn)這一屋頂?shù)目偤穸冉^對沒有超過十分之一英寸！
這年頭的建筑學(xué)雜志真是大不如前了啊。
雖然波形建材和易拉罐的強度可以很高，但有個辦法讓這些材料變得更強。想自己找到這個辦法？去冰箱拿個雞蛋出來。放在掌心，整只手握住雞蛋，擠吧。（嘗試這個的時候記得別戴戒指。）你會為它的強度而驚訝的。我就沒法把雞蛋握壞，哪怕用盡全力也沒戲。（真的，誰試誰知道。）

請務(wù)必在家中嘗試一下——好吧，為了安全，別在電腦前嘗試。圖片來源：Aatish Bhatia
雞蛋為什么這么強？易拉罐和波形金屬板在一個方向上是彎的，另一個還是平的。這一彎曲讓它們擁有了一定強度，但它們還是有可能被壓成本來的平板。
相反，雞蛋殼兩個方向上都是彎的。這是它的關(guān)鍵。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，那就是這些雙重彎曲的曲面擁有非零的高斯曲率。像我們先前遇到的橘子皮一樣，這意味著它們不可能被壓平，除非有撕裂或者拉伸——有高斯絕妙定理保證這一點。要打破一個雞蛋，你必須首先弄出一個坑。等到雞蛋失去了彎曲，也就失去了強度。

圖片來源：Owen Cliffe / Wikimedia
核電站冷卻塔的象征性形狀也在兩個方向上利用了彎曲。這個形狀叫做雙曲面，能讓所需的材料最少。正常的煙囪很像巨大易拉罐——結(jié)實是結(jié)實，但是很容易彎。雙曲面形狀的煙囪靠雙向彎曲來解決這個問題，這樣的彎曲方式能把形狀“鎖死”在空間中，提供額外的強度。
另一種得益于彎曲的形狀是品客“薯片”，照數(shù)學(xué)家的說法，這是個雙曲拋物面（hyperbolic paraboloid，舌頭打結(jié)了沒？）。

圖片來源：Aatish Bhatia
自然界運用這一形狀的招數(shù)堪稱腦洞大開。瀨尿蝦有一項臭名昭著的本領(lǐng)——動物界里最快的拳擊手，它的一拳打出去的力道足以把著力點上的水蒸發(fā)掉，創(chuàng)造出沖擊波和閃光。要想使出這死亡一擊，瀨尿蝦使用了雙曲拋物面形狀的“彈簧”。平時它把彈簧壓縮起來儲存巨大的能量，然后一招之內(nèi)釋放出來。
西班牙-墨西哥建筑師菲利克斯·坎德拉（Félix Candela）很懂薯片形狀的力量?？驳吕峭辛_亞的學(xué)生，他的建筑將雙曲拋物面帶到了新的高度（字面意思）。當(dāng)你聽到“混凝土”這個詞的時候，恐怕只會想到無聊透頂?shù)姆綁K建筑，但坎德拉卻利用雙曲拋物面蓋起了巨大的建筑，使用的混凝土薄到不可思議。身為這一材料的真正大師，他既是極富創(chuàng)新的建筑者，也是結(jié)構(gòu)藝術(shù)家。

圖片來源：Ciudad de las Artes y las Ciencias / Flickr
所以為什么薯片形狀強度如此之高？這和它平衡張力與壓力的方式有關(guān)。一切建筑都要支撐重量，最終將這些重量傳遞到地面上。這一傳遞可以靠兩種不同方式完成：其一是壓縮，拱頂就是純靠壓力而實現(xiàn)的例子；另一個就是拉伸，把一根鎖鏈拎起來，它的每一環(huán)就都處于拉伸狀態(tài)、受到張力。雙曲拋物面結(jié)合了兩種方式的優(yōu)點。凹下去的U型部分處于拉伸狀態(tài)，而凸起來的拱頂部分則是壓縮，高斯絕妙定理則保證了任何一個地方的受力都會傳遞到四周——因為這是一個高斯曲率非零的曲面。只要你試圖改變它的形狀，就必須得連帶壓縮或者拉伸一整片區(qū)域才能讓結(jié)果遵從高斯的律令；像紙張那樣只彎曲一條線而不影響其他部分是不可能的。通過這樣的雙重彎曲，這一形狀實現(xiàn)了張力和壓力之間的精妙平衡，讓它以很小的厚度就能實現(xiàn)驚人的強度。
通過彎曲來產(chǎn)生強度，這個想法塑造了我們所見的當(dāng)代世界，而它的根源卻來自萬古不變的幾何學(xué)。所以下一次你抓起一塊披薩的時候，記得朝周圍看看，欣賞一下這個簡單的披薩小把戲背后的龐大遺產(chǎn)吧。

半畝花田

名字應(yīng)該叫做吃披薩引發(fā)的數(shù)學(xué)思考，嘻嘻嘻嘻

半畝花田

曉迪

看來要好好學(xué)習(xí)了

瘋狂老鼠2013

好無聊的帖子。。

高飛飛

學(xué)習(xí)了